Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與軸，軸交于兩點(diǎn).

（i）若，求的值；

（ii）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）（ii）見解析

【解析】分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積即可求出a2=4，b2=2，則橢圓方程可得，

（2）（i）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出，

（ii）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出．

詳解：（1）因?yàn)?/span>滿足，由離心率為，所以，

即，代入得.

又橢圓的頂點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，

即，即，，以上各式聯(lián)立解得，

則橢圓方程為

（2）（i）直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，

聯(lián)立消去得，

，

設(shè)，則

又，由得

解得，由得

（ii）由（i）知，

所以

，

，

，

為定值

所以為定值.