Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n＞0，其前n項和S_n滿足S_n=

1

2

(an-1)(an+2)，其中n∈N^*．
（1）求證；數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•2^-n，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：T_n＜3；
（3）設(shè)c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=1求得首項，取n=n-1得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為2，公差為1，則通項公式可求；
（2）把數(shù)列的通項公式代入b_n=a_n•2^-n，整理后利用錯位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項和，放縮后證得答案；
（3）由c_n+1＞c_n成立得到2^n-1+（-1）ⁿλ＞0，然后分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)結(jié)合λ為非零整數(shù)求得λ的值．

解答： （1）證明：當(dāng)n=1時，由S_n=

1

2

(an-1)(an+2)，得
2a1=a12+a1-2，解得a₁=2；
當(dāng)n≥2時，2Sn=an2+an-2，
2Sn-1=an-12+an-1-2，
作差得：2an=an2+an-an-12-an-1，
（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為2，公差為1，
則a_n=2+1×（n-1）=n+1；
（2）證明：b_n=a_n•2^-n=

n+1

2n

，
Tn=

2

21

+

3

22

+…+

n+1

2n

，

1

2

Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，
作差得：

1

2

Tn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 4 - 1 2n+1

1- 1 2

-

n+1

2n+1

．
∴Tn=3-

n+3

2n

＜3；
（3）解：由4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²＞4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
得3•4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹＞0，
即3•4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹×3＞0，
2^n-1+（-1）ⁿλ＞0，
當(dāng)n為奇數(shù)時，λ＜2^n-1，∴λ＜1；
當(dāng)n為偶數(shù)時，λ＞-2^n-1，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，
又λ為非零整數(shù)，∴λ=-1．

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了分類討論法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．