【題目】如圖，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2.
（Ⅰ）求線段BC1的長度；
（Ⅱ）異面直線BC1與DC所成角的余弦值．
【答案】(1) 
(2) 
【解析】試題分析：（1）以D為坐標原點，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．求出點的坐標，從而得到線段BC1的長度；
（2）求出兩條直線的方向向量，代入公式即可.
試題解析：
（I）以D為坐標原點，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
∴
＝(0,2,0)，
＝(－2，－2,2)，||＝2，
（II）由（I）可知，＝(0,2,0)，＝(－2，－2,2)
∴cos〈，〉＝
＝
∴異面直線DC與BC1所成的角的余弦值為
.
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【題目】已知橢圓
（
）離心率等于
，P（2，3）、Q（2，﹣3）是橢圓上的兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點，若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值．
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【題目】如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）已知點M是線段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求實數λ的值．
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【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．
（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（2）求直線AF與平面α所成角的正弦值．
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P為橢圓C： 
=1（a＞b＞0）的下頂點，M，N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，若α∈（ 
， 
]，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A.（0， 
]
B.（0， 
]
C.[ ， ]
D.[ ， 
]
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【題目】已知函數f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．
（1）當m=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在x=1時取得極大值，求證：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（3）若m≤8，當x≥1時，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范圍．
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【題目】已知f（x）=e2x+ln（x+a）．
（1）當a=1時，①求f（x）在（0，1）處的切線方程；②當x≥0時，求證：f（x）≥（x+1）2+x．
（2）若存在x0∈[0，+∞），使得 
成立，求實數a的取值范圍．
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