Question

8．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）判斷f（x）在（0，1）與[1，+∞）上的單調性，并用定義證明．
（Ⅱ）求f（x）在（$\frac{1}{2}$，3）上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明即可；（Ⅱ）先求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的單調遞減，
理由如下：設0＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=（m+$\frac{1}{m}$）-（n+$\frac{1}{n}$）
=（m-n）-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{m}$）=（m-n）•$\frac{mn-1}{mn}$，
由于0＜m＜n＜1，則m-n＜0，mn＜1，即mn-1＜0，
則f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
則有f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的單調遞減；
同理可證f（x）在[1，+∞）內是增函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，3）遞增，
而f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，f（1）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{10}{3}$，
∴函數(shù)的值域是[$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{3}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性定義的應用，考查函數(shù)的值域問題，是一道基礎題．