Question

是否存在實數(shù)λ，使函數(shù)f(x)＝x⁴＋(2－λ)x²＋2－λ在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，而在區(qū)間[－1，0)上是增函數(shù)？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：已知函數(shù)在規(guī)定區(qū)間上的單調(diào)性，運用定義可得出λ與所設(shè)的x₁、x₂的不等關(guān)系式，再根據(jù)變量x₁、x₂的兩個范圍，求出λ的范圍，由兩個已知條件求出λ的兩個范圍，若有公共部分則λ存在，若無公共部分，則λ不存在．

　　解：因為f(x₁)－f(x₂)＝x₁⁴－x₂⁴＋(2－λ)(x₁²－x₂²)＝(x₁²－x₂²)(x₁²＋x₂²＋2－λ)．

　　若x₁＜x₂≤－2，則x₁²－x₂²＞0，且x₁²＋x₂²＋2＞4＋4＋2＝10，所以當且僅當λ≤10時，f(x₁)－f(x₂)＞0恒成立，從而f(x)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)．

　　若－1≤x₁＜x₂＜0，則x₁²－x₂²＞0，且x₁²＋x₂²＋2＜1＋1＋2＝4，所以當且僅當λ≥4時，f(x₁)－f(x₂)＜0恒成立，從而f(x)在區(qū)間[－1，0)上是增函數(shù)．

　　綜上所述，存在實數(shù)λ使f(x)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，而在區(qū)間[－1，0)上是增函數(shù)，且實數(shù)λ的取值范圍為[4，10]．

　　點評：本題是一道探索性命題，是一道求函數(shù)單調(diào)性的逆向問題，定義是解決此類問題的最佳方法．