Question

（2011•渭南三模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的一個端點為B且

BF1

•

BF2

=0，直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點S(0，-

1

3

)的動直線l交橢圓C于M、N兩點．問：是否存在一個定點T，使得以MN為直徑的圓恒過點T？若存在，求點T坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

x-y+b=0 y 2=4x

，得x²+（2b-4）x+b²=0，因直線y=x-b與拋物線y²=4x相切，△=（2b-4）²-4b²=0，解得b=1．由短軸的一個端點為B且

BF1

•

BF2

=0，知a=

2

b=

2

．由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當(dāng)l與x軸平行時，以MN為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．當(dāng)l與x軸垂直時，以MN為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由

x2+(y+  1 3 )2 = 16 9 x2+y2=1

解得兩圓公共點（0，1）．因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）．（�。┊�(dāng)直線L斜率不存在時，以MN為直徑的圓過點T（0，1）；（ⅱ）若直線L斜率存在時，可設(shè)直線l：y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，記點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理和向量數(shù)量積公式能推導(dǎo)出TM⊥TN，綜合（�。�（ⅱ），以MN為直徑的圓恒過點T（0，1）．

解答：解：（Ⅰ）由

x-y+b=0 y 2=4x

，得x²+（2b-4）x+b²=0，
因直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，
∴b=1．…2分
∵短軸的一個端點為B且

BF1

•

BF2

=0，
∴a=

2

b=

2

．…4分
故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…5分
（Ⅱ）當(dāng)l與x軸平行時，以MN為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．
當(dāng)l與x軸垂直時，以MN為直徑的圓的方程：x²+y²=1．
由

x2+(y+  1 3 )2 = 16 9 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

，
即兩圓公共點（0，1）．
因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）…7分
（�。┊�(dāng)直線L斜率不存在時，以MN為直徑的圓過點T（0，1）
（ⅱ）若直線L斜率存在時，可設(shè)直線l：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
記點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

．…9分
∵

TM

=(x1，y1-1)，

TN

=(x2，y2-1)，
∴

TM

•

TN

=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

 )+

16

9

=（1+k²）x₁x₂-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

    
=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0．
∴TM⊥TN，…11分
綜合（ⅰ）（ⅱ），以MN為直徑的圓恒過點T（0，1）．…12分

點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．