Question

已知正數(shù)a，b，對任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax²-ax-a²＞bx²-bx-b²恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：法一：通過因式分解，原不等式可化簡為x²-x-（a+b）＞0，問題可化為x²-x＞（a+b）_max；法二：構(gòu)造函數(shù)h（t）=-t²+（x²-x）t，由題意可知h（t）=-t²+（x²-x）t在（0，1）單調(diào)遞增，借助二次函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于x的不等式．

解答： 解法一：化簡ax²-ax-a²＞bx²-bx-b²，
得（a-b）x²-（a-b）x-（a²-b²）＞0，
∵a＞b，∴x²-x-（a+b）＞0，
又a，b∈（0，1），∴x²-x≥2，解得x≤-1或x≥2．
故答案為：x≤-1或x≥2．
法二：ax²-ax-a²＞bx²-bx-b²可化為a（x²-x）-a²＞b（x²-x）-b²，
令h（t）=-t²+（x²-x）t，
∵對任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax²-ax-a²＞bx²-bx-b²恒成立，
∴h（t）=-t²+（x²-x）t在（0，1）單調(diào)遞增，
∴對稱軸t=

x2-x

2

≥1，解得x≤-1或x≥2，
故答案為：x≤-1或x≥2．

點評：本題考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析解決問題的能力，法一轉(zhuǎn)化為了函數(shù)最值解決，而法二則通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性處理，細心觀察式子的特點并能合理轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．