Question

5．已知f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求f（f（2）））的值；
（2）若實(shí)數(shù)a滿足f（a²）=$-\frac{3}{5}$，且lg2^a-1＜0，求a的值；
（3）設(shè)函數(shù)f₁（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$（x≠-1），對于一切正整數(shù)n，都有f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），且f₃（x）=f₄（x），求f₂₀₁₂（x）的值；
（4）設(shè)函數(shù)φ（x）=$\frac{1+x}{x-1}|x-2{|}^{\frac{1}{2}}$（x≠1），若函數(shù)g（x）=f（x）•φ（x），t=a²-2a+$\frac{13}{3}$（a∈R），試判斷g（1.2），g（2.5），g（t）的大小關(guān)系．（請按由大到小的順序排）

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，先求出f（2），再計(jì)算f（f（2））的值．
（2）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-{a}^{2}}{1+{a}^{2}}=-\frac{3}{5}}\\{{2}^{a-1}＜1}\end{array}\right.$，由此能求出a．
（3）由已知得當(dāng)n為奇數(shù)時，${f}_{n}（x）=\frac{1-x}{1+x}$；n為偶數(shù)時，f_n（x）=x．由此能求出結(jié)果．
（4）由已知得t=a²-2a+$\frac{13}{3}$=（a-1）²+$\frac{10}{3}$≥$\frac{10}{3}$，g（x）=f（x）•φ（x）=-|x-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$，由此能判斷g（1，2），g（2，5），g（t）的大小關(guān)系．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，∴f（2）=$\frac{1-2}{1+2}$=-$\frac{1}{3}$，
∴f（f（2））=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2．
（2）∵實(shí)數(shù)a滿足f（a²）=$-\frac{3}{5}$，且lg2^a-1＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-{a}^{2}}{1+{a}^{2}}=-\frac{3}{5}}\\{{2}^{a-1}＜1}\end{array}\right.$，
解得a=-2．
（3）∵f₁（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$（x≠-1），對于一切正整數(shù)n，都有f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），
∴${f}_{2}（x）=\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{x+x}}$=x，${f}_{3}（x）=\frac{1-x}{1+x}$，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，${f}_{n}（x）=\frac{1-x}{1+x}$；n為偶數(shù)時，f_n（x）=x．
∵f₃（x）=f₄（x），
∴$\frac{1-x}{1+x}=x$，整理，得x²+2x-1=0，解得$x=-1±\sqrt{2}$，
∴f₂₀₁₂（x）=x=-1$±\sqrt{2}$．
（4）∵φ（x）=$\frac{1+x}{x-1}|x-2{|}^{\frac{1}{2}}$（x≠1），函數(shù)g（x）=f（x）•φ（x），t=a²-2a+$\frac{13}{3}$（a∈R），
∴t=a²-2a+$\frac{13}{3}$=（a-1）²+$\frac{10}{3}$≥$\frac{10}{3}$，
g（x）=f（x）•φ（x）=-|x-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$，
∴g（1.2）=-|1.2-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{0.8}$，
g（2.5）=-|2.5-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{0.5}$，
g（t）=-|t-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$≤-$\sqrt{\frac{4}{3}}$，
∴g（2.5）＞g（1.2）＞g（t）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)a的值的求法，考查三個數(shù)的大小的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．