【題目】已知，.

（1）若恒成立.求的最大值；

（2）若，�。�1）中的，當(dāng)時(shí)，證明：.

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性可知為偶函數(shù)，根據(jù)時(shí)，恒成立可將問題轉(zhuǎn)化為時(shí)，，恒成立，求；利用導(dǎo)數(shù)，分別在和兩種情況下得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定的范圍，從而得到最大值；

（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)，，根據(jù)余弦函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性可分別求得不等號(hào)左右兩側(cè)函數(shù)的最大值和最小值，由此可證得不等式成立，從而得到結(jié)論.

（1），為偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

故題意可為：，，若恒成立，求的最大值.

，，

①若，則恒成立，在單調(diào)遞增，

又，有，，故在單調(diào)遞增，

又，有恒成立，此時(shí)的最大值.

②若，則存在最小的正數(shù)，使成立，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

又，有，，故在單調(diào)遞減，

又，有，，故，不恒成立，

即無最大值.

綜合①②可知，滿足題意的最大值.

（2）由（1）知，，證明：，

即證：，，

，，

由，恒成立，有，

即證：，，

，，（*）

當(dāng)時(shí)，的最大值為，

當(dāng)時(shí)，的最小值為，

故（*）式恒成立，即證得恒成立.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知關(guān)于x的不等式m－|x－2|≥1，其解集為[0，4]．

(1)求m的值；

(2)若a，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足a＋b＝m，求a2＋b2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠為生產(chǎn)一種精密管件研發(fā)了一臺(tái)生產(chǎn)該精密管件的車床，該精密管件有內(nèi)外兩個(gè)口徑，監(jiān)管部門規(guī)定“口徑誤差”的計(jì)算方式為：管件內(nèi)外兩個(gè)口徑實(shí)際長分別為，標(biāo)準(zhǔn)長分別為則“口徑誤差”為只要“口徑誤差”不超過就認(rèn)為合格，已知這臺(tái)車床分晝夜兩個(gè)獨(dú)立批次生產(chǎn)．工廠質(zhì)檢部在兩個(gè)批次生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取40件作為樣本，經(jīng)檢測其中晝批次的40個(gè)樣本中有4個(gè)不合格品，夜批次的40個(gè)樣本中有10個(gè)不合格品．

（Ⅰ）以上述樣本的頻率作為概率，在晝夜兩個(gè)批次中分別抽取2件產(chǎn)品，求其中恰有1件不合格產(chǎn)品的概率；

（Ⅱ）若每批次各生產(chǎn)1000件，已知每件產(chǎn)品的成本為5元，每件合格品的利潤為10元；若對(duì)產(chǎn)品檢驗(yàn)，則每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2.5元；若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)用戶賠償，這時(shí)生產(chǎn)的每件不合格品工廠要損失25元．以上述樣本的頻率作為概率，以總利潤的期望值為決策依據(jù)，分析是否要對(duì)每個(gè)批次的所有產(chǎn)品作檢測？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓以拋物線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱錐P－ABC中，PA平面ABC，ABAC，且PA＝l，AB＝AC＝2，點(diǎn)D滿足，.

（1）當(dāng)，求二面角P－BD－C的余弦值；

（2）若直線PC與平面PBD所成角的正弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了提高生產(chǎn)線的運(yùn)行效率，工廠對(duì)生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造.為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果，采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，并繪制了如莖葉圖：

（1）①設(shè)所采集的個(gè)連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間的中位數(shù)，并將連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間超過和不超過的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過

不超過

改造前

改造后

②根據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異？

附：.

（2）工廠的生產(chǎn)線的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù)，工廠對(duì)生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)、保障維護(hù)費(fèi)兩種.對(duì)生產(chǎn)線設(shè)定維護(hù)周期為天（即從開工運(yùn)行到第天進(jìn)行維護(hù).生產(chǎn)線在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立.在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，若生產(chǎn)線能連續(xù)運(yùn)行，則不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)；若生產(chǎn)線不能連續(xù)運(yùn)行，則產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi).經(jīng)測算，正常維護(hù)費(fèi)為萬元/次；保障維護(hù)費(fèi)第一次為萬元/周期，此后每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個(gè)生產(chǎn)周期（以天計(jì)）內(nèi)的維護(hù)方案：，、、、.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的頻率作為概率，求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的分布列及期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中，滿足“對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，總有”的是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】在日常生活中，石子是我們經(jīng)常見到的材料，比如在各種建筑工地或者建材市場上常常能看到堆積如山的石子，它的主要成分是碳酸鈣.某雕刻師計(jì)劃在底面邊長為2m、高為4m的正四棱柱形的石料中，雕出一個(gè)四棱錐和球M的組合體，其中O為正四棱柱的中心，當(dāng)球的半徑r取最大值時(shí)，該雕刻師需去除的石料約重___________kg.（最后結(jié)果保留整數(shù)，其中，石料的密度，質(zhì)量）

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