Question

函數(shù)f（x）=2x-

a

x

的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1）上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）a=-2時(shí)易判斷y=f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得f（x）的最小值；
（2）由y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，知任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即（x₁-x₂）（2+

a

x1x2

）＞0，轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可解決；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)a≥0時(shí)，易知f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，可得函數(shù)最值；②由（2）得當(dāng)a≤-2時(shí)，y=f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，可得函數(shù)最值；③當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，通過研究單調(diào)性可得函數(shù)最值；

解答：解：（1）函數(shù)y=f（x）=2（x+

1

x

）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴y=f（x）的最小值為f（1）=4；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，
則任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即（x₁-x₂）（2+

a

x1x2

）＞0，
只要a＜-2x₁x₂即可，
由x₁，x₂∈（0，1]，得-2x₁x₂∈（-2，0），所以a≤-2，
故a的取值范圍是（-∞，-2]；
（3）①當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，無最小值，
當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2-a；
②由（2）得當(dāng)a≤-2時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，無最大值，
當(dāng)x=1時(shí)取得最小值2-a；
③當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0，

-2a

2

]上單調(diào)遞減，在[

-2a

2

，1]上單調(diào)遞增，無最大值；
當(dāng)x=

-2a

2

時(shí)取得最小值2

-2a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查函數(shù)最值的求解，考查分類討論思想．