Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為D₁C₁，B₁C₁的中點
（1）求證：D，B，F(xiàn)，E四點共面；
（2）AC∩BD=G，A₁C₁∩EF=N，A₁C交平面DBFE于M點，求證：G，N，M三點共線．

Answer 1

考點：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得EF∥D₁B₁，BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，從而BB₁D₁D是平行四邊形，從而EF∥DB，由此能證明D、B、F、E共面．
（2）由已知得EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交線，R是EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一個公共點，由此能證明P、Q、R三點共線．

解答： 證明：（1）∵E、F分別為C₁D₁，B₁C₁的中點，
∴EF是△B₁C₁D₁的中位線，
∴EF∥D₁B₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，
∴BB₁D₁D是平行四邊形，
∴DB∥D₁B₁，
又由EF∥D₁B₁，
∴EF∥DB，
∴D、B、F、E共面．
（2）∵AC∩BD=G，A₁C₁∩EF=N，
∴GN是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交線，
∵A₁C交平面DBFE于M點，
∴M是GN是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一個公共點，
∵兩相交平面的所有公共點都在這兩平面的交線上，
∴G，N，M三點共線．

點評：本題考查四點共面的證明，考查三點共線的證明，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．