Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且兩條漸近線(xiàn)與以點(diǎn)A(0，

2

)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)y=mx+1與雙曲線(xiàn)C的左支交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，另一直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)M（-2，0）和線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l在y軸上截距b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=kx，
又該直線(xiàn)與圓x2+(y-

2

)2=1相切
所以 1=

|k×0- 2 |

k2+1

?k=±1
可設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1
又雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)為（

2

，0），
所以2a²=2?a²=1
所求雙曲線(xiàn)C的方程為  x²-y²=1
（Ⅱ）由 

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0依題意

4m2+8(1-m2)＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

?1＜m＜

2

線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，直線(xiàn)l的方程y=

1

-2m2+m+2

(x+2)令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

因?yàn)閙∈(1，

2

)，所以-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
所以 直線(xiàn)l在y軸上截距b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．