Question

已知函數(shù)f（x）=cos²

x

2

-sin²

x

2

-sinx．
（1）求f（x）的最小正周期及單調增區(qū)間；
（2）當x₀∈（0，

π

4

）且f（x₀）=

4 2

5

時，求f（x₀+

π

4

）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）函數(shù)可化簡為f（x）=-

2

sin（x-

π

4

），從而可求f（x）的最小正周期及單調增區(qū)間；
（2）先求得sin（x₀-

π

4

）=-

4

5

，故可求得f（x₀+

π

4

）=-sinx₀=-sin[（x₀-

π

4

）+

π

4

]=

2

10

．

解答： 解：f（x）=cos²

x

2

-sin²

x

2

-sinx=cosx-sinx=-

2

sin（x-

π

4

）
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=2π，
2kπ+

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

⇒2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

，
故單調增區(qū)間為[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

]．
（2）由已知得：f（x₀）=

2

cos（x₀+

π

4

）=

4 2

5

故有cos（x₀+

π

4

）=

4

5

，
∵x₀∈（0，

π

4

）∴x₀+

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），sin（x₀+

π

4

）=

3

5

，
∴f（x₀+

π

4

）=

2

sinx₀=

2

sin[（x₀+

π

4

）-

π

4

]=-

1

5

．

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．