Question

（本小題滿分12分）

如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2.

（1）求證：AE//平面DCF；

（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）   略

（2）  

【解析】方法一：（Ⅰ）證明：過點(diǎn)作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，

從而四邊形為平行四邊形，故．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351219843438161_DA.files/image012.png">平面，

平面，

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)．

由平面平面，，得平面，

從而．所以為二面角的平面角．

在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351219843438161_DA.files/image030.png">，，

所以，．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351219843438161_DA.files/image034.png">，所以，

從而，于是，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351219843438161_DA.files/image038.png">所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為………12分

方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351219843438161_DA.files/image061.png">平面，所以平面平面．

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351219843438161_DA.files/image064.png">，，所以，，從而

解得．所以，．設(shè)與平面垂直，

則，，解得．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351219843438161_DA.files/image077.png">平面，，所以，

得到．所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．………12分