Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且4sin2

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（Ⅰ）求內(nèi)角A的度數(shù)； 
（Ⅱ）求cosB+cosC的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后求出cosA的值，即可確定出內(nèi)角A的度數(shù)；
（Ⅱ）由A的度數(shù)確定出B+C的度數(shù)，表示出C，代入所求式子，利用和差化積公式變形，利用余弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答：解：（Ⅰ）已知等式變形得：2[1-cos（B+C）]-2cos²A+1=2（1+cosA）-2cos²A+1=-2cos²A+2cosA+3=

7

2

，
∴cosA=

1

2

，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=60°；
（Ⅱ）∵A=60°，∴B+C=120°，即C=120°-B，
則cosB+cosC=cosB+cos（120°-B）=2cos60°cos（B-60°）=cos（B-60°），
∵0＜B＜120°，∴-60°＜B-60°＜60°，
∴

1

2

＜cos（B-60°）＜1，
則cosB+cosC的范圍是（

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，和差化積公式，以及余弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．