Question

已知函數(shù)，，且函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率恒小于，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，這一條件分離出兩個(gè)條件，然后根據(jù)這兩個(gè)條件列有關(guān)和的二元一次方程組，解出和的值進(jìn)而確定函數(shù)的解析式；（Ⅱ）先將直線的斜率利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，然后建立以為自變量的函數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，即可求出參數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明不等式，構(gòu)造函數(shù)

，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，借助極小值，但同時(shí)需要注意有些時(shí)候相應(yīng)整體的代換.

試題解析：（Ⅰ），.   1分

函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

  即， 解得，    2分

.      3分

（Ⅱ）由、，得，

∴“當(dāng)時(shí)，直線的斜率恒小于”當(dāng)時(shí)，恒成立對(duì)恒成立.    4分

令，.

則，    5分

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，知恒成立，

∴在單調(diào)遞增，

∴，不滿足題意的要求.    6分

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，

，

∴當(dāng)  ，；當(dāng)，.

即在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.

所以存在使得，不滿足題意要求.   7分

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，恒成立，

∴在單調(diào)遞減，恒有，滿足題意要求. 8分

綜上所述：當(dāng)時(shí)，直線的斜率恒小于.    9分

（Ⅲ）證明：令，

則， 10分

，

函數(shù)在遞增，在上的零點(diǎn)最多一個(gè).11分

又，，

存在唯一的使得，    12分

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

在遞減，在遞增，

從而.     13分

由得且，，

，從而證得.      14分

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)