【題目】如圖,在三棱柱中, 底面, , , , 是棱上一點.
(I)求證: .
(II)若, 分別是, 的中點,求證: 平面.
(III)若二面角的大小為,求線段的長.
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)
【解析】試題分析:(1)先證明面可得;(2)連接交于點,根據(jù)幾何知識可得可得,根據(jù)線面平行的判定定理可得平面;(3)建立空間直角坐標系,利用向量,通過計算求的長。
試題解析:(I)∵平面, 面,
∴.
∵, ,
∴中, ,
∴.
∵,
∴面.
∵面,
∴.
(II)連接交于點.
∵四邊形是平行四邊形,
∴是的中點.
又∵, 分別是, 的中點,
∴,且,
∴四邊形是平行四邊形,
∴.
又平面, 面,
∴平面.
(III)∵,且平面,
∴, , 兩兩垂直。
以為原點, , , 分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標系.
設,則, , , ,
∴, , .
設平面的法向量為,
故, ,
則有,令,則,
又平面的法向量為.
∵二面角的大小為,
∴,
解得,即,
,
∴.
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【題目】在直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為, 也是拋物線的焦點,點為與在第一象限的交點,且.
(1)求的方程;
(2)平面上的點滿足,直線,且與交于兩點,若,求直線的方程.
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【題目】已知圓: 過圓上任意一點向軸引垂線垂足為(點、可重合),點為的中點.
(1)求的軌跡方程;
(2)若點的軌跡方程為曲線,不過原點的直線與曲線交于、兩點,滿足直線, , 的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的取值范圍.
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【題目】已知拋物線,直線過拋物線焦點,且與拋物線交于, 兩點,以線段為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是( )
A. 相離 B. 相交 C. 相切 D. 不確定
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【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為.
(1)求橢圓的方程式;
(2)已知動直線與橢圓相交于兩點.
①若線段中點的橫坐標為,求斜率的值;
②已知點,求證: 為定值.
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【題目】已知圓: ,直線過定點.
(Ⅰ)若與圓相切,求的方程;
(Ⅱ)若與圓相交于、兩點,求的面積的最大值,并求此時直線的方程.(其中點是圓的圓心)
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