Question

【題目】從中這個(gè)數(shù)中取個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列，所有可能的遞增等差數(shù)列這個(gè)數(shù)記為.

（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出所有可能的遞增等差數(shù)列及的值；

（2）求；

（3）求證:.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)列舉，可知符合要求的遞增等差數(shù)列為共個(gè).所以；（2）由于，且，即有項(xiàng)，所以，故取，取個(gè)，歸納出個(gè)數(shù)；（3）由于，按照（2）的方法，求出的表達(dá)式，然后利用差比較法證明不等式.

試題解析：

（1） 符合要求的遞增等差數(shù)列為共個(gè)..

（2）設(shè)滿足條件的一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為的可能取值為.對(duì)于給定的

,當(dāng)分別取時(shí)，可得遞增等差數(shù)列個(gè)（如: 時(shí)，，當(dāng)分別取時(shí)，可得遞增等差數(shù)列個(gè): ，其它同理）當(dāng)取時(shí)，可得符合要求的等差數(shù)列個(gè)數(shù)為:.

（3）證明: 設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，記的整數(shù)部分是，則，即.的可能取值為,對(duì)于給定的, 當(dāng)分別取時(shí)，可得遞增等差數(shù)列個(gè).當(dāng)取時(shí)，符合要求的等差數(shù)列個(gè)數(shù).由題意.又,

.

. 即.