Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，PC與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，△BCD為等邊三角形，PA=2$\sqrt{2}$，AB=AD，E為PC的中點．
（1）求AB；
（2）求點E到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，結合已知可得BC⊥平面PAB，得到AB⊥BC，連接AC，由已知求解在直角三角形可得AB=2；
（2）由（1）求得BC=BD=2$\sqrt{3}$，PB=PD=$2\sqrt{3}$，由E為PC的中點，得PC⊥平面BED，設點E到平面PBD的距離為h，利用等積法，由V_P-BDE=V_E-PBD，求得點E到平面PBD的距離．

解答 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵PB⊥BC，PA∩PB=P，∴BC⊥平面PAB，
∵AB?平面PAB，∴AB⊥BC
∵△BCD為等邊三角形，又AB=AD，連接AC，
則∠ACB=30°，設AB=x，則AC=2x，
又PC與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，PA=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得x=2，即AB=2；
（2）由（1）求得BC=BD=2$\sqrt{3}$，PB=PD=$2\sqrt{3}$，
∵E為PC的中點，∴DE⊥PC，BE⊥PC，即PC⊥平面BED，
∵$PB=PB=BD=2\sqrt{3}$，∴${S}_{△PBD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$，
∵AC=4，PA=2$\sqrt{2}$，∴$PC=\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{6}$，則PE=$\sqrt{6}$，
∴$DE=BE=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}=\sqrt{6}$，則${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$．
設點E到平面PBD的距離為h，
由V_P-BDE=V_E-PBD，得$\frac{1}{3}×3×\sqrt{6}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}h$，解得h=$\sqrt{2}$．
∴點E到平面PBD的距離為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查點、線、面間的距離計算，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．