如圖，互相垂直的兩條公路AP、AQ旁有一矩形花園ABCD，現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園AMN，要求點(diǎn)M在射線AP上，點(diǎn)N在射線AQ上，且直線MN過點(diǎn)C，其中AB=36米，AD=20米．記三角形花園AMN的面積為S．
（Ⅰ）問：DN取何值時(shí)，S取得最小值，并求出最小值；
（Ⅱ）若S不超過1764平方米，求DN長(zhǎng)的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM，從而AN，AM用DN表示，利用三角形的面積公式表示出面積，再利用基本不等式求最值，注意等號(hào)何時(shí)取得．
（Ⅱ）由S不超過1764平方米，建立不等式，從而可求DN長(zhǎng)的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)DN=x米（x＞0），則AN=x+20．
因?yàn)镈C∥AB，所以△NDC∽△NAM
所以
DN
DC
=
AN
AM
，
所以
x
36
=
x+20
AM
，即AM=
36(x+20)
x
．
所以S=
1
2
×AM×AN=
18(x+20)2
x
…（4分）
=18(x+
400
x
+40)≥1440，當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí)取等號(hào)．
所以，S的最小值等于1440平方米．…（8分）
（Ⅱ）由S=
18(x+20)2
x
≤1764得x2-58x+400≤0．…（10分）
解得8≤x≤50．
所以，DN長(zhǎng)的取值范圍是[8，50]．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力，考查解不等式，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點(diǎn)C，其中AB=30米，AD=20米．記三角形花園APQ的面積為S．
（Ⅰ）當(dāng)DQ的長(zhǎng)度是多少時(shí)，S最�。坎⑶骃的最小值．
（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，則DQ的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江蘇省高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，互相垂直的兩條公路、旁有一矩形花園，現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園，要求在射線上，在射線上，且過點(diǎn)，其中米，米. 記三角形花園的面積為S.

（Ⅰ）當(dāng)的長(zhǎng)度是多少時(shí)，S最小?并求S的最小值.

（Ⅱ）要使S不小于平方米，則的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

如圖，互相垂直的兩條公路、旁有一矩形花園，現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園，要求在射線上，在射線上，且過點(diǎn)，其中米，米. 記三角形花園的面積為.

（1）設(shè)米，將表示成的函數(shù).

（2）當(dāng)的長(zhǎng)度是多少時(shí)，最小?并求的最小值.

（3）要使不小于平方米，則的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省濰坊三縣2010-2011學(xué)年高三第一次聯(lián)考（數(shù)學(xué)文） 題型：解答題

 

如圖，互相垂直的兩條公路、旁有一矩形花園，現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園，要求在射線上，在射線上，且過點(diǎn)，其中米，米. 記三角形花園的面積為.

（I）問：取何值時(shí)，取得最小值，并求出最小值；

（II）若不超過1764平方米，求長(zhǎng)的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

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