Question

已知{a_n}是一個單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且滿足a₂a₄=21，a₁+a₅=10，數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n=a_n+1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ•c_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用條件求出a₃=5．結(jié)合a₂a₄=21，求出d，然后求解a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出S_n=2n，通過c_n=S_n-S_n-1，推出c_n，表示出bn=2n+1，判斷數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．然后求解前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題知d＞0．
由2a₃=a₁+a₅=10，又可得a₃=5．
由a₂a₄=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．
所以a₁=a₃-2d=1．可得a_n=2n-1（n∈N*）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S_n=a_n+1=2n
當n≥2時，c_n=S_n-S_n-1=2n-2（n-1）=2
當n=1時，c₁=S₁=2滿足上式，所以c_n=2（n∈N*）
所以bn=2n•cn=2n×2=2n+1，即bn=2n+1，
因為

bn+1

bn

=

2n+2

2n+1

=2，b₁=4
所以數(shù)列{b_n}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
所以前n項和Tn=

4×(1-2n)

1-2

=2n+2-4…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的綜合應用，等比數(shù)列的判定，數(shù)列求和的方法，考查計算能力．