Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分別為PB，PD的中點．
（1）證明：MN∥平面ABCD；
（2）過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，利用三角形的中位線的性質(zhì)，證明MN∥BD，再利用線面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；
（2）方法一：連接AC交BD于O，以O(shè)為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AMN的法向量，利用效率的夾角公式，即可求得二面角A-MN-Q的平面角的余弦值；
方法二：證明∠AEQ為二面角A-MN-Q的平面角，在△AED中，求得AE=，QE=，AQ=2，再利用余弦定理，即可求得二面角A-MN-Q的平面角的余弦值．
解答：（1）證明：連接BD．∵M(jìn)，N分別為PB，PD的中點，
∴在△PBD中，MN∥BD．
又MN?平面ABCD，BD?平面ABCD
∴MN∥平面ABCD；
（2）方法一：連接AC交BD于O，以O(shè)為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°
，得AC=AB=，BD=
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC
在直角△PAC中，，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各點坐標(biāo)如下
A（-，0，0），B（0，-3，0），C（，0，0），D（0，3，0），P（），M（），N（）
Q（）
設(shè)=（x，y，z）為平面AMN的法向量，則．
∴，取z=-1，
同理平面QMN的法向量為
∴=
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為．
方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA=，BD=
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC
而M，N分別是PB，PD的中點，∴MQ=NQ，且AM=PB==AN
取MN的中點E，連接AE，EQ，則AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ為二面角A-MN-Q的平面角
由，AM=AN=3，MN=3可得AE=
在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2
在△PBC中，cos∠BPC=，∴MQ=
在等腰△MQN中，MQ=NQ=．MN=3，∴QE=
在△AED中，AE=，QE=，AQ=2，∴cos∠AEQ=
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為．
點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定定理，掌握面面角的兩種求解方法，屬于中檔題．