Question

10．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的面積等于4，點(diǎn)P在x軸的上方，求點(diǎn)P的坐標(biāo)$（±\frac{{10\sqrt{2}}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 由題意可知：c=4，|F₁F₂|=2c=8，設(shè)P（x₀，y₀），y₀＞0，則三角形PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$•8•|y₀|=4|y₀|=4，求得y₀=1，代入即可求得x₀，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，a=5，b=3，則c=4，|F₁F₂|=2c=8，
由點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)P（x₀，y₀），y₀＞0，則三角形PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$•8•|y₀|=4|y₀|=4，
∴|y₀|=1，y₀=1，
y₀=1時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{1}{9}$=1，解得：x₀=±$\frac{10\sqrt{2}}{3}$，
∴P（±$\frac{10\sqrt{2}}{3}$，1），
故答案為：$（±\frac{{10\sqrt{2}}}{3}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查焦點(diǎn)三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．