Question

對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對數(shù)列進行“變換”，得到數(shù)列，…，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為時變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問和經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）求經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；
（Ⅲ）證明：一定能經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束．

Answer 1

（Ⅰ）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會出現(xiàn)所有項均為的情形．       ……2分
數(shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．
……………3分
（Ⅱ）解：經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．……4分
若，則經(jīng)過一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．……5分
當(dāng)數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束時，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．
當(dāng)時，數(shù)列．
由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．
其它情形同理，得證．
在數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束時，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．         ………8分
所以，數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．
（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項一定不大于數(shù)列的最大項，其中”．
證明：記數(shù)列中最大項為，則．
令，，其中．
因為， 所以，
故，證畢．                    ……………9分
現(xiàn)將數(shù)列分為兩類．
第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰（規(guī)定首項與末項相鄰），此時由引理可知，．     
第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時．
下面證明第二類數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”，一定可以得到第一類數(shù)列．
不妨令數(shù)列的第一項為，第二項最大()．（其它情形同理）
①當(dāng)數(shù)列中只有一項為時，
若()，則，此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列；
若，則；此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列；
若()，則，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列；
若，則；；，
此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列．
②當(dāng)數(shù)列中有兩項為時，若()，則，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列；
若()，則，，此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列．
③當(dāng)數(shù)列中有三項為時，只能是，則，
，，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列．
總之，第二類數(shù)列至多經(jīng)過次“變換”，就會得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項又開始減少．
又因為各數(shù)列的最大項是非負整數(shù)，
故經(jīng)過有限次“變換”后，數(shù)列的最大項一定會為，此時數(shù)列的各項均為，從而結(jié)束．                ………………13分

略