已知直線l：y=k（x+2
2
）與圓O：x2+y2=4相交于不重合的A、B兩點，O是坐標原點，且三點A、B、O構成三角形．
（1）求k的取值范圍；
（2）三角形ABO的面積為S，試將S表示成k的函數(shù)，并求出它的定義域；
（3）求S的最大值，并求取得最大值時k的值．
考點：直線和圓的方程的應用
專題：綜合題,直線與圓
分析：（1）三點A、B、O構成三角形，則0＜
2
2
|k|
k2+1
＜2，從而可求k的取值范圍；
（2）求出|AB|，表示出三角形的面積，即可得到S表示成k的函數(shù)；
（3）換元，利用配方法，即可求S的最大值．
解答： 解：（1）由題意，dOM=
2
2
|k|
k2+1
，
∵三點A、B、O構成三角形，
∴0＜
2
2
|k|
k2+1
＜2，
∴-1＜k＜1且k≠0；
（2）直線l：y=k（x+2
2
），即kx-y+2
2
k=0，
∴dOM=
2
2
|k|
k2+1
，
∴|AB|=2
4-(
2
2
|k|
k2+1
)2
=4
1-k2
1+k2
，
∴S=
1
2
|AB|dOM=
1
2
•=4
1-k2
1+k2
•
2
2
|k|
k2+1
=
4
2
•
k2(1-k2)
1+k2
（-1＜k＜1且k≠0）；
（3）設k2+1=t（t≥1），則S=4
2
•
-t2+3t-2
t
=4
2
•
-2(
1
t
-
3
4
)2+
1
8
，
∴
1
t
=
3
4
，即t=
4
3
時，k=±
3
3
，Smax=4
2
•
1
2
2
=2，
∴S的最大值為2，取得最大值時k=±
3
3
．
點評：本題考查點到直線的距離公式的運用，考查三角形面積的計算，考查換元法、配方法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個圓切直線l1：x-6y-10=0于點P（4，-1），且圓心在直線l2：5x-3y=0上．
（Ⅰ）求該圓的方程；
（Ⅱ）求經過原點的直線被圓截得的最短弦的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若x2+y2=100，則直線4x-3y+50=0與圓的位置關系是（　　）
A、相交B、相離
C、相切D、相交但不過圓心

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知空間上的兩點A（-1，2，1）、B（-2，0，3），以AB為體對角線構造一個正方體，則該正方體的體積為（　�。�
A、3
B、2
3
C、9
D、3
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（　　）
A、
500
3
cm3
B、
1000
3
cm3
C、1000cm3
D、2000cm3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x+
3
sinxcosx-1．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）當x∈[-
π
12
，
π
2
]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log
1
2
2
sin(x-
π
4
)．
（1）求它的定義域，值域；
（2）判定它的奇偶性和周期性；
（3）判定它的單調區(qū)間及每一區(qū)間上的單調性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c∈R，給出下列命題：
①若a＞b，則ac2＞bc2；
②若ab≠0，則
a
b
+
b
a
≥2；
③若a＞b＞0，n∈N*，則an＞bn；
④若logab＜0（a＞0，a≠1），則a，b中至少有一個大于1．
其中真命題的個數(shù)為（　　）
A、2B、3C、4D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的四個頂點為A1，A2，B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2，若以F1F2為直徑的圓內切于菱形A1B1A2B2，切點分別為A，B，C，D，則菱形A1B1A2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值
S1
S2
=（　　）
A、
5
+1
2
B、2
5
-2
C、
5
+2
2
D、
5
-1
2

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