Question

（本小題滿分12分）

      如圖，在直三棱柱中，90°,,是的中點(diǎn).

      （Ⅰ）求異面直線與所成的角；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m              

      （Ⅱ）若為上一點(diǎn)，且，求二面角的大小.

Answer 1

解法一：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m              

     （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連，則∥，

           ∴或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角. ……………………2分

           設(shè)，則，

           .

           ∴. ………………………………4分

           ∵在中，. ……5分

           ∴異面直線與所成的角為. ……………………………6分

     （Ⅱ）連結(jié)，設(shè)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于，連結(jié)，則

           .又∵平面平面

          ∴平面. ………………………………………………………8分

          而  ∴

          ∴是二面角的平面角. …………………………………9分

          由=，=，，得.……………10分

          即二面角為

          ∴所求二面角為. ………………………………12分

解法二：

（Ⅰ）如圖分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)

系. ……………………………………………………………………1分

      設(shè)，則、、、

      、.  ………………………………………………………2分

      ∴，

      ∴. ………………………5分

      ∴異面直線與所成的角為.  ………………………………………6分

（Ⅱ）由題意知點(diǎn)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m              

，

則， ∵，

∴，取，得. ………………8分

易知平面的一個(gè)法向量，

      ∴.  …………………………………………11分

      ∴二面角的大小為.  …………………………12分