Question

已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）與圓O：x²+y²=3相切，過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)且斜率為的直線也與圓O相切．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）P是圓O上在第一象限的點(diǎn)，過(guò)P且與圓O相切的直線l與C的右支交于A、B兩點(diǎn)，△AOB的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用雙曲線C：（a＞0，b＞0）與圓O：x²+y²=3相切，可得，利用過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)且斜率為的直線也與圓O相切，可得c=2，從而可知b=1，故可得雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m，利用圓心O到直線l的距離，可得m²=3k²+3，聯(lián)立方程，消去y可得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0，計(jì)算線AB的長(zhǎng)，利用△AOB的面積為，即可求直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線C：（a＞0，b＞0）與圓O：x²+y²=3相切，
∴，（2分）
設(shè)過(guò)C的右焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為y=（x-c）
∵過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)且斜率為的直線也與圓O相切，
∴，∴c=2，
∴b²=c²-a²=1，∴b=1
∴雙曲線C的方程為（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m，（k＜0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
圓心O到直線l的距離，由得m²=3k²+3（6分）
由得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
則，（8分）
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又△AOB的面積，∴（10分）
由，解得k=-1，，
∴直線l的方程為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線與圓的綜合，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，同時(shí)考查三角形面積的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)．