Question

選作題（從以下兩題中任選一題作答）
（1）求函數(shù)y=sin（2x+25°）+

3

cos（2x+85°）的周期、值域．
（2）求函數(shù)y=sinx+cosx-sin2x值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用兩角和的正弦與余弦可求得y=sin（2x+25°）+

3

cos（2x+85°）=cos（2x+55°），從而可求得其周期與值域；
（2）令t=sinx+cosx，t∈[-

2

，

2

]，易知sin2x=1-t²，于是y=-t²+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

，t∈[-

2

，

2

]，從而可求其值域．

解答： 解：（1）∵2x+85°-（2x+25°）=60°，
∴cos（2x+85°）=cos[（2x+25°）+60°]
=cos（2x+25°）cos60°-sin（2x+25°）sin60°
=

1

2

cos（2x+25°）-

3

2

sin（2x+25°），
∴

3

cos（2x+85°）=

3

2

cos（2x+25°）-

3

2

sin（2x+25°），
∴y=sin（2x+25°）+

3

cos（2x+85°）
=-

1

2

sin（2x+25°）+

3

2

cos（2x+25°）
=cos（2x+55°），
∴周期T=

2π

2

=π，值域為[-1，1]；
（2）令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），t∈[-

2

，

2

]．
則t²=1+sin2x，
∴sin2x=1-t²，
∴原式y(tǒng)=-t²+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

，
∵t∈[-

2

，

2

]，
當(dāng)t=

1

2

時，y_max=

5

4

；
當(dāng)t=-

2

時，y_min=-1-

2

，
∴函數(shù)y=sinx+cosx-sin2x的值域為[-1-

2

，

5

4

]．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查兩角和的正弦與余弦，考查余弦函數(shù)的周期與值域，考查換元思想與轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．