Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

，
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）在a＞0的情況下，若曲線y=f（x）上兩點(diǎn)A，B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出相應(yīng)方程的根，因?yàn)槎�次�?xiàng)的系數(shù)為a，要分a＞0，和a＜0進(jìn)行討論．
（2）由曲線y=f（x）上兩點(diǎn)A，B處的切線都與y軸垂直，即與x軸平行，A、B為函數(shù)的兩極值點(diǎn)，又線段AB與x軸有公共點(diǎn)，及兩極值應(yīng)該異號(hào)（或其中一個(gè)為0）．

解答： 解：（1）由a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-

2

a

)
令f'（x）=0得x1=0，x2=

2

a

．
（i）當(dāng)a＞0時(shí)，
若x∈（-∞，0），則f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)；
若x∈(0，

2

a

)，則f'（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間(0，

2

a

)上是減函數(shù)；
若x∈(

2

a

，+∞)，則f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間(

2

a

，+∞)上是增函數(shù)；
（i i）當(dāng)a＜0時(shí)，
若x∈(-∞，

2

a

)，則f'（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間(-∞，

2

a

)上是減函數(shù)；
若x∈(

2

a

，0)，則f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間(

2

a

，0)上是增函數(shù)；
若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）由（1）中（i）的討論及題設(shè)知，
曲線y=f（x）上的兩點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)y=f（x）在x=0，x=

2

a

處分別是取得極大值和極小值
f(0)=1-

3

a

，f(

2

a

)=-

4

a2

-

3

a

+1．
因?yàn)榫�段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以

f(0)≥0 f( 2 a )≤0

并且兩等號(hào)不能同時(shí)成立
即

(1- 3 a )≥0 (- 4 a2 - 3 a +1)≤0

并且兩等號(hào)不能同時(shí)成立，
由已知a＞0故

a≥3 0＜a≤4

．
解得　3≤a≤4．
即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，零點(diǎn)等知識(shí)．是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題．屬于中檔題．