Question

18．如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，點P在線段AD'上，且AP≤$\frac{1}{2}$AD'則異面直線CP與BA'所成角θ的取值范圍是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 如圖，連結CD'，則異面直線CP與BA'所成的角θ等于∠D'CP，由圖可知，當P點與A點重合時，可得θ=$\frac{π}{3}$．當P點無限接近D'點時，θ趨近于0，由于AP≤$\frac{1}{2}$AD'，故得P在AD'中點時，θ最小，即可得到范圍．

解答 解：如圖，ABCD-A'B'C'D'是正方體，連結CD'，則異面直線CP與BA'所成的角θ等于∠D'CP，
由圖可知，當P點與A點重合時，可得θ=$\frac{π}{3}$．
當P點無限接近D'點時，θ趨近于0，
∵AP≤$\frac{1}{2}$AD'，故得P在AD'中點時，θ最小，
設正方體的邊長為1，則AD'=$\sqrt{2}$，CD'=$\sqrt{2}$，PC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
AP=$\frac{1}{2}$AD'=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$cosθ=\frac{D′{C}^{2}+C{P}^{2}-D′{P}^{2}}{2D′C•CP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$θ=\frac{π}{6}$．
所以異面直線CP與BA'所成角θ的取值范圍是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
故答案為：[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題考查了空間動點的變化，異面直線所成角的問題．找到所成的角，當P點移動是，觀察角的變化情況．屬于中檔題．