Question

已知函數(shù)，x∈[-1，t]（t＞-1），函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)0＜t＜1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最大、最小值；
（Ⅱ）求證：對于任意的t＞-1，總存在x∈（-1，t），使得x=x是關(guān)于x的方程f′（x）=g（t）的解；并就k的取值情況討論這樣的x的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x）大于0，求出t的范圍得到遞增區(qū)間；小于0求出t的范圍得到遞減區(qū)間；討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大為f（0），最小為f（-1）；
（Ⅱ）求出f′（x）將其和g（t）代入到方程f′（x）=g（t）中得到方程，令，分當(dāng)t＞5或-1＜t＜2時和當(dāng)2＜t＜5時，并且考慮特殊值t=2或5，討論p（x）=0這個方程解的個數(shù)即可知道這樣的x的個數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=x²-2x=x（x-2）
由f′（x）＞0⇒x＞2或x＜0；由f′（x）＜0⇒0＜x＜2，
所以當(dāng)0＜t＜1時，f（x）在（-1，0）上遞增，在（0，t）上遞減
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182251763043115/SYS201310241822517630431020_DA/1.png">，f（0）=3，，
而f（0）＜f（t）＜f（2），
所以當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）取最小值，
當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取最大值f（0）=3，
（Ⅱ）因?yàn)閒′（x）=x²-2x，所以，
令，
從而把問題轉(zhuǎn)化為證明方程在（-1，t）上有解，
并討論解的個數(shù)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182251763043115/SYS201310241822517630431020_DA/7.png">，，
所以
①當(dāng)t＞5或-1＜t＜2時，p（-2）•p（t）＜0，所以p（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解
②當(dāng)2＜t＜5時，p（-2）＞0且p（t）＞0，但由于，所以p（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解
③當(dāng)t=2時，p（x）=x²-2x=0⇒x=0或x=2，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
當(dāng)t=5時，p（x）=x²-2x-3=0⇒x=-1或x=3，所以p（x）=0在（-1，5）上也有且只有一解x=3
綜上所述，對于任意的t＞-1，總存在x∈（-1，t），滿足f'（x）=g（t），且當(dāng)t≥5或-1＜t≤2時，有唯一的x適合題意；
當(dāng)2＜t＜5時，有兩個x適合題意．
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用能力．