Question

已知函數(shù)f(x)=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；  
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，t•f（x）≥2^x-2恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，令f（0）=0列出方程，求出a的值；
（2）由0＜x≤1判斷出f（x）＞0，再把t分離出來(lái)轉(zhuǎn)化為t≥

(2x-2)(2x+1)

2x-1

對(duì)x∈（0，1]時(shí)恒成立，利用換元法：令m=2^x-1，代入上式并求出m的范圍，再轉(zhuǎn)化為求y=m-

1

m

+1在（0，1]上的最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f(0)=1-

4

2+a

=0，解得a=2．
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）＞0．
∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，t•f（x）≥2^x-2恒成立，
則等價(jià)于t≥

2x-2

f(x)

=

(2x-2)(2x+1)

2x-1

對(duì)x∈（0，1]時(shí)恒成立，
令m=2^x-1，0＜m≤1，即t≥m-

1

m

+1當(dāng)0＜m≤1時(shí)恒成立，
既t≥y=m-

1

m

+1在（0，1]上的最大值，易知y=m-

1

m

+1在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)m=1時(shí)y=m-

1

m

+1有最大值1，所以t≥1，
故所求的t范圍是：t≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，恒成立問(wèn)題以及轉(zhuǎn)化思想和分離常數(shù)法求參數(shù)范圍，難度較大．