Question

已知α、β∈（0，

π

2

），sinα-sinβ=-

1

2

  ， cosα-cosβ=

1

2

，求sin（α-β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由于sinα-sinβ=-

1

2

①，cosα-cosβ=

1

2

②，利用①²+②²可求得cos（α-β）=

3

4

，進(jìn)一步分析得到-

π

2

＜α-β＜0，從而可求sin（α-β）的值．

解答： 解：∵sinα-sinβ=-

1

2

①，cosα-cosβ=

1

2

②，
①²+②²得：sin²α+sin²β-2sinαsinβ+cos²α+cos²β-2cosαcosβ=

1

2

，
即2-2cos（α-β）=

1

2

，
∴cos（α-β）=

3

4

；
又α、β∈（0，

π

2

），cosα-cosβ=

1

2

，
∴0＜α＜β＜

π

2

，
∴-

π

2

＜α-β＜0，
∴sin（α-β）=-

1-cos2(α-β)

=-

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查α-β范圍的確定，求得-

π

2

＜α-β＜0是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題．