Question

已知常數(shù)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax²-2x+a＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：討論a=0時，不等式是什么，解集是什么？
a＞0時，如何解不等式ax²-2x+a＜0，解集是什么？
a＜0時，如何解不等式ax²-2x+a＜0，解集是什么？

解答： 解：當(dāng)a=0時，不等式為-2x＜0，∴x＞0；
當(dāng)a＞0時，∵4-4a²＞0，∴-1＜a＜1，
∴若0＜a＜1，則方程ax²-2x+a=0的兩個實(shí)數(shù)根是x₁=

1- 1-a2

a

，x₂=

1+ 1-a2

a

，
∴不等式ax²-2x+a＜0的解集是{x|

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

}；
若a≥1，則不等式ax²-2x+a＜0的解集是∅．
當(dāng)a＜0時，∵4-4a²＞0，∴-1＜a＜1；
∴若-1＜a＜0，則方程ax²-2x+a=0的兩個實(shí)數(shù)根是x₁=

1- 1-a2

a

，x₂=

1+ 1-a2

a

，
∴不等式ax²-2x+a＜0的解集是{x|x＞

1- 1-a2

a

，或x＜

1+ 1-a2

a

}；
若a=-1，則不等式ax²-2x+a＜0的解集是{x|x≠

1

a

}；
若a＜-1，則不等式ax²-2x+a＜0的解集是R；
綜上，不等式的解集是：a=0時，{x|x＞0}；
0＜a＜1時，{x|

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

}；
a≥1時，∅；
-1＜a＜0時，{x|x＞

1- 1-a2

a

，或x＜

1+ 1-a2

a

}；
a=-1時，{x|x≠

1

a

}；
a＜-1時，R．

點(diǎn)評：本題考查了用分類討論法解含有字母系數(shù)的不等式的問題，解題時應(yīng)適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，求出各種情況的不等式的解集，再綜合在一起，是易錯題．