Question

對于任意的實數(shù)a和b，定義一種新的運算“□”：a□b=

a，a-b≤0 b，a-b＞0

，設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-3x）□（x+12）（x∈R），若函數(shù)y=f（x）-k的圖象與橫軸只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，化簡f（x）=（x²-3x）□（x+12）=

x2-3x，x∈[-2，6] x+12，x＞6或x＜-2

，作出其函數(shù)的圖象，函數(shù)y=f（x）-k的圖象與橫軸只有一個公共點可化為f（x）與y=k的圖象有且只有一個交點，從而求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：令x²-3x-（x+12）＞0，
則x＞6或x＜-2，
則f（x）=（x²-3x）□（x+12）
=

x2-3x，x∈[-2，6] x+12，x＞6或x＜-2

，
作出其圖象如下圖：

函數(shù)y=f（x）-k的圖象與橫軸只有一個公共點可化為
f（x）與y=k的圖象有且只有一個交點，
又∵f（-2）=-2+12=10，
f（

3

2

）=-

9

4

，
則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

9

4

）∪（10，+∞）；
故答案為：（-∞，-

9

4

）∪（10，+∞）．

點評：本題考查了學(xué)生對新知識的接受能力及作圖能力，轉(zhuǎn)化能力等，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．