Question

如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，點B為DE中點．
（Ⅰ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）設二面角A₁-BC-A的大小為α，直線AC與平面A₁BC所成的角為β，求sin（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，關鍵是要在一個平面內找到一條與另外一個平面垂直的直線，我可們以利用已知，證明AB⊥BC，AA₁⊥BC，根據(jù)已知條件，我們有兩種思路證明線線垂直的辦法，進而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到BC垂直平面A₁ABB₁．再由面面垂直的判定定理得到結論；
（2）由（Ⅰ）可知A₁B⊥BC，AB⊥BC即∠A₁BA為二面角A₁-BC-A的平面角，即∠A₁BA=α，由平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩平面A₁ABB₁=A₁B，得AF⊥平面A₁BC，即∠ACD為直線AC與平面A₁BC所成的角，即∠ACD=β．求出α、β的三角函數(shù)值后，利用兩角和的正弦公式即可得到答案，而求α、β有兩種方法：一是構造三角形，解三角形；二是建立空間坐標系，利用空間向量求解．
解答：（Ⅰ）證法一：在平行四邊形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，點B為DE中點．
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，從而∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁ABB₁．
∵BC?平面A₁BC
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁
證法二、∵AE=2，AC=4，∠E=60°，點B為DE中點．
∴AB=2，，AB²+BC²=16=AC²，
∴AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁ABB₁
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知A₁B⊥BC，AB⊥BC
∴∠A₁BA為二面角A₁-BC-A的平面角，即∠A₁BA=α，
在Rt△A₁AB中，，．
以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz如圖所示，
其中A₁（0，0，4），，C（0，4，0），，，，
設為平面A₁BC的一個法向量，則，∴即

令y=1，得平面A₁BC的一個法向量，則，
又，∴，
∴，
即sin（α+β）=1．（12分）
方法二、由（Ⅰ）可知A₁B⊥BC，AB⊥BC
∴∠A₁BA為二面角A₁-BC-A的平面角，即∠A₁BA=α，
在Rt△A₁AB中，，，．
過點A在平面A₁ABB₁內作AF⊥A₁B于F，連接CF，
則由平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩平面A₁ABB₁=A₁B，得AF⊥平面A₁BC
∴∠ACF為直線AC與平面A₁BC所成的角，即∠ACF=β．
在Rt△ACF中，，，．
∴，
即sin（α+β）=1．
點評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠A₁BA為二面角A₁-BC-A的平面角，通過解∠A₁BA所在的三角形求得∠A₁BA．其解題過程為：作∠A₁BA→證∠A₁BA是二面角的平面角→計算∠A₁BA，簡記為“作、證、算”．