Question

已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可求得≤≤2，而5×-3≤≤4×-1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，從而≥，設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞1），利用其導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的極小值，也就是的最小值，于是問(wèn)題解決．
解答：解：∵4c-a≥b＞0
∴＞，
∵5c-3a≤4c-a，
∴≤2．
從而 ≤2×4-1=7，特別當(dāng)=7時(shí)，第二個(gè)不等式成立．等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln，
從而≥，設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞1），
∵f′（x）=，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x=e時(shí)，f′（x）=0，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取到極小值，也是最小值．
∴f（x）_min=f（e）==e．
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)=e，=e成立．代入第一個(gè)不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，從而e可以取得．等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=1：e：1．
從而的取值范圍是[e，7]雙閉區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的綜合應(yīng)用，得到≥，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求的最小值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析與轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題的能力，屬于難題．