Question

已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，若將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位又得到一個(gè)奇函數(shù)，若f（2）=-1，則f（1）+f（2）+…+f（2013）等于（　�。�

• A、-1
• B、0
• C、-1003
• D、1003

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)推導(dǎo)出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可．

解答： 解：∵將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位得到f（x-1），得到一個(gè)奇函數(shù)，
∴f（-x-1）=-f（x-1），
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函數(shù)的周期是4．
∵f（2）=-1，
∴f（0）=f（2）=f（4）=-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+2）=-f（-1），
即f（1）=-f（1），∴f（1）=0，
∵f（3）=-f（1）=0，
∴f（1）=0，f（2）=-1，f（3）=0，f（4）=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2013）=f（2013）=f（1）=0，
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要函數(shù)值的計(jì)算，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性是解決本題關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力．