Question

在x軸的正方向上，從左向右依次取點(diǎn)列{A_j}，j=1，2…，以及在第一象限內(nèi)的拋物線y²=

3

2

x上從左向右依次取點(diǎn)列{B_k}，k=1，2…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2…）都是等邊三角形，其中A₀是坐標(biāo)原點(diǎn)，則第2005個等邊三角形的邊長是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用等邊三角形的性質(zhì)可得：直線A₀B₁的斜率及其方程，與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)B₁的坐標(biāo)，即可得出第一個等邊三角形的邊長，依此類推即可得出第2005個等邊三角形的邊長．

解答： 解：如圖所示，
∵△A₀B₁A₁是等邊三角形，
∴∠B₁A₀A₁=60°．
∴直線A₀B₁的方程為；y=

3

x．
聯(lián)立

y= 3 x y2= 3 2 x

，解得

x= 1 2 y= 3 2

，
可得第一個等邊三角形的邊長=1．
同理聯(lián)立

y= 3 (x-1) y2= 3 2 x

，解得x=2，
可得第二個等邊三角形的邊長=2×（2-1）=2．
…，
可得第2005個等邊三角形的邊長是2005．
故答案為：2005．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、類比推理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．