Question

已知命題P：函數(shù)f（x）為（0，+∞）上單調(diào)減函數(shù)，實(shí)數(shù)m滿足不等式f（m+1）＜f（3-2m）．命題Q：當(dāng)x∈[0，

π

2

]，函數(shù)m=sin²x-2sinx+1+a．
（1）若命題P為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題P是命題Q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）由于命題P為真命題：函數(shù)f（x）為（0，+∞）上單調(diào)減函數(shù)，實(shí)數(shù)m滿足不等式
f（m+1）＜f（3-2m）．可得m+1＞3-2m＞0，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍，記作集合A．
（2）對(duì)于命題Q：函數(shù)m=sin²x-2sinx+1+a=（sinx-1）²+a．根據(jù)x∈[0，

π

2

]，可得m∈[a，1+a]=B．
由于命題P是命題Q的充分不必要條件，可得A?B．

解答： 解：（1）由于命題P為真命題：
∵函數(shù)f（x）為（0，+∞）上單調(diào)減函數(shù)，實(shí)數(shù)m滿足不等式f（m+1）＜f（3-2m）．
∴m+1＞3-2m＞0，解得

2

3

＜m＜

3

2

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

2

3

，

3

2

)，記作集合A．
（2）對(duì)于命題Q：函數(shù)m=sin²x-2sinx+1+a=（sinx-1）²+a．
∵x∈[0，

π

2

]，∴m∈[a，1+a]=B．
∵命題P是命題Q的充分不必要條件，
∴A?B．
∴

a≤ 2 3 3 2 ≤1+a

，解得

1

2

≤a≤

2

3

．
實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1

2

≤a≤

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、集合的運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．