(本題滿分12分)

在正三角形中,、分別是、、邊上的點(diǎn),滿足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如圖1)。將△沿折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連結(jié)A1B、A1P(如圖2)

(Ⅰ)求證:A1E⊥平面BEP;

(Ⅱ)求直線A1E與平面A1BP所成角的大;

(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示)

 

【答案】

.解法一:不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3

(1)       在圖1中,取BE中點(diǎn)D,連結(jié)DF. AE:EB=CF:FA=1:2∴AF=AD=2而∠A=600 , ∴△ADF是正三角形,又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在圖2中,A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB為二面角A1EF-B的平面角。由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,A1E⊥BE,又∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP

(2)       在圖2中,A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的垂線,又A1E⊥平面BEP,

∴A1E⊥BE.從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理)設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q,且A1Q交BP于點(diǎn)Q,則∠E1AQ就是A1E與平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP是等邊三角形.又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q為BP的中點(diǎn),且,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中,,∴∠EA1Q=60o,

∴直線A1E與平面A1BP所成的角為600

(3)在圖3中,過F作FM⊥ A1P與M,連結(jié)QM,QF,∵CP=CF=1,

 ∠C=600,∴△FCP是正三角形,∴PF=1.有

∴PF=PQ①,

∵A1E⊥平面BEP,  ∴A1E=A1Q,

∴△A1FP≌△A1QP從而∠A1PF=∠A1PQ②,

由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP,

∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,

從而∠FMQ為二面角B-A1P-F的平面角.

在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴. ∵ MQ⊥A1P∴在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得

在△FMQ中,

∴二面角B-A1P-F的大小為

【解析】略

 

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如圖所示,直二面角中,四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形,,上的點(diǎn),且⊥平面

(Ⅰ)求證:⊥平面

(Ⅱ)求二面角的大;

(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.

 

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