22.設(shè)直線l與橢圓+=1相交于A、B兩點,l又與雙曲線x2y2=1相交于C、D兩點,C、D三等分線段AB求直線l的方程.

22. 本小題主要考查直線、橢圓、雙曲線及定比分點等知識和思維能力、運算能力.

解法一:首先討論l不與x軸垂直時的情況,設(shè)直線l的方程為y=kx+b,如圖所示,l與橢圓、雙曲線的交點為:

Ax1,y1)、Bx2,y2)、Cx3,y3)、Dx4,y4),

依題意有=,=3,

得(16+25k2x2+50kbx+(25b2-400)=0,     ①

x1+x2=-.

得(1-k2x2-2bkx-(b2+1)=0.                 ②

k=±1,則l與雙曲線最多只有一個交點,不合題意.故k≠±1.

x3+x4=.

=x3x1=x2x4x1+x2=x3+x4.

=bk=0k=0或b=0.

(1)當k=0時,由①得x12、由②得x3、4.

=3x2x1=3(x4x3).

=6

b.

l的方程為y.

(2)當b=0時,由①得x1、2,

由②得x3、4.

=3x2x1=3(x4x3).即=

k.

l的方程為yx.

再討論lx軸垂直的情況.

設(shè)直線l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線方程可解得

y12. y3、4.

由||=3|||y2y1|=3|y4y3|.

=6c.

l的方程為x.

綜上所述,直線l的方程是:y、yxx.

解法二:設(shè)l與橢圓、雙曲線的交點為:

Ax1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),

則有

i的兩個式子相減及j的兩個式子相減,得:

C、DAB的三等分點,

CD的中點(x0,y0)與AB的中點重合,且.

于是x0==,y0==,

x2x1=3(x4x3),

y2y1=3(y4y3).

因此

x0y0≠0,則x2=x1x4=x3y4=y3y2=y1.

AB、C、D互異,故xixj,yiyj,這里i,j=1,2,3,4且ij.

①÷②得16=-25,矛盾.

所以x0y0=0.

(1)當x0=0,y0≠0時,由②得y4=y3≠0,這時l平行x軸.

設(shè)l的方程為y=b,分別代入橢圓、雙曲線方程得:

x1、2=±,x3、4=±.

x2x1=3(x4x3)=6b.

l的方程為:y.

(2)當y0=0,x0≠0時,由②得x4=x3≠0,這時l平行y軸.

設(shè)l的方程為x=c,分別代入橢圓、雙曲線方程得:

y12=±,y34.

y2y1=3(y4y3)=6c.

l的方程為:x.(3)當x0=0,y0=0時,這時l通過坐標原點且不與x軸垂直.

設(shè)l的方程為y=kx,分別代入橢圓、雙曲線方程得:

x1、2, x3、4.

x2x1=3(x4x3)k.

l的方程為:yx.

綜上所述,直線l的方程是:yx、yx.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)經(jīng)過點M(1,
3
2
)
,其離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓C上,O為坐標原點.求O到直線距離的l最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F(-
2
,0)
,點F到右頂點的距離為
3
+
2

(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)直線l與橢圓交于A、B兩點,且與圓x2+y2=
3
4
相切,求△AOB的面積為
3
2
時求直線l的斜率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,其中a2=4c,直線l:3x-2y=0與橢圓的交點在x軸上的射影恰為橢圓的焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓在x軸上方的一個交點為P,F(xiàn)是橢圓的右焦點,試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•順義區(qū)二模)已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓G的兩個焦點,點P在橢圓G上,且△PF1F2的周長為4+4
2

(Ⅰ)求橢圓G的方程
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點,若
OA
OB
(O為坐標原點),求證:直線l與圓x2+y2=
8
3
相切.

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