Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F(-

2

，0)，點(diǎn)F到右頂點(diǎn)的距離為

3

+

2

（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且與圓x2+y2=

3

4

相切，求△AOB的面積為

3

2

時(shí)求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的左焦點(diǎn)為F(-

2

，0)，點(diǎn)F到右頂點(diǎn)的距離為

3

+

2

，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程，利用直線l與圓x2+y2=

3

4

相切，確定m，k的關(guān)系，再利用韋達(dá)定理及△AOB的面積為

3

2

，即可求得直線l的斜率．

解答：解：（I）由題意得c=

2

，a+c=

3

+

2

∴a=

3

，∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=±

3

2

，代入橢圓方程，可得y=±

3

2

，此時(shí)|AB|=

3

，△AOB的面積為S=

1

2

|AB|×

3

2

=

3

4

，不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線l與圓x2+y2=

3

4

相切，∴

|m|

1+k2

=

3

2

，即m2=

3

4

(k2+1)
直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=

-6km

3k2+1

，x₁x₂=

3m2-3

3k2+1

∴|AB|=

1+k2

×

( -6km 3k2+1 )2-4× 3m2-3 3k2+1

=

3

×

1+k2

∴

1

2

×

3

×

1+k2

×

3

2

=

3

2

，∴k=±

3

3

即直線l的斜率為±

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．