如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC,AB=2,EB=
3

(Ⅰ)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(Ⅱ)記AC=x,V(x)表示三棱錐A-CBE的體積,求函數(shù)V(x)的解析式及最大值.
分析:(1)利用直徑所對(duì)的圓周角為直角,線面垂直的性質(zhì)即可證明BC⊥平面ACD,再利用平行四邊形的性質(zhì)BC∥ED,得到ED⊥平面ACD,從而可得平面ACD⊥平面ADE;
(2)利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出表達(dá)式,再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出體積的最大值.
解答:(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴CD∥BE,BC∥DE.
∵DC⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴DC⊥BC.
∵AB是圓O的直徑,∴BC⊥AC,且DC∩AC=C.
∴BC⊥平面ADC.
∵DE∥BC,∴DE⊥平面ADC.
又∵DE?平面ADE,∴平面ACD⊥平面ADE.
(2)∵DC⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC.
在Rt△ABE中,AB=2,BE=
3

在Rt△ABC中,∵AC=x,BC=
4-x2
(0<x<2).
S△ABC=
1
2
AC•BC=
1
2
x
4-x2

V(x)=VE-ABC=
1
3
S△ABC•BE
=
3
6
x
4-x2
(0<x<2).
x2(4-x2)≤(
x2+4-x2
2
)2=4
,當(dāng)且僅當(dāng)x2=4-x2,即x=
2
時(shí),體積有最大值為
3
3
點(diǎn)評(píng):熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角為直角的性質(zhì)、線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,設(shè)AE與平面ABC所成的角為θ,且tanθ=
3
2
,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC.
(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點(diǎn)M,使得MO∥平面ADE?證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,直線MN切⊙O于點(diǎn)C,BE∥MN交AC于點(diǎn)E.若AB=6,BC=4,求AE的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△ABC內(nèi)接于圓柱的底面圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,DC、EB是兩條母線,且 tan∠EAB=
3
2

(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點(diǎn)M,使得MO∥平面ADE,證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•沈陽二模)選修4-1:幾何證明選講
如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,PA是過點(diǎn)A的直線,且∠PAC=∠ABC.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)如果弦CD交AB于點(diǎn)E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求直徑AB的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,直線MN切⊙O于點(diǎn)C,BE∥MN交AC于點(diǎn)E,若AB=6,BC=4,則AE的長為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案