解:(1)由題意知a
1=-a
1-1+2,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/933.png)
.
當(dāng)n≥2時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25380.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25381.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25382.png)
,即2
n•a
n=2
n-1a
n-1+1,
設(shè)b
n=2
na
n,則b
n-b
n-1=1,
∵b
1=2a
1=1,∴b
n=1+(n-1)=n=2
na
n,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2504.png)
.
(2)由(1)得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25383.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25384.png)
,①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25385.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25386.png)
②
①-②得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25387.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25388.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25389.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25390.png)
.
T
n-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25379.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25391.png)
.
于是確定T
n與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25379.png)
的大小等價于比較2
n與2n+1的大小,
由2<2×1+1,2
2<2×2+1,2
3>2×3+1,2
4>2×4+1,
可猜想當(dāng)n≥3時,2
n>2n+1,證明如下.
(1)當(dāng)n=3時,2
3>2×3+1,猜想成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,猜想成立,即2
k>2k+1.
當(dāng) n=k+1時,2
k+1=2•2
k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)-1.
所以,當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
綜合(1)(2)可知,對一切n≥3的正整數(shù),都有2
n>2n+1.
∴當(dāng)n=1,2時,T
n<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25379.png)
.當(dāng)n≥3時,T
n≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25379.png)
.
分析:(1)由題意知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/933.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25380.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25381.png)
.同眥可知2
n•a
n=2
n-1a
n-1+1,b
n=2
na
n,則b
n=1+(n-1)=n=2
na
n,由此可知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2504.png)
.
(2)由(1)得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25383.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25384.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25385.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25386.png)
,由錯位相減法知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25390.png)
.由此入手可證出當(dāng)n=1,2時,T
n<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25379.png)
.當(dāng)n≥3時,T
n≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25379.png)
.
點評:本題考查數(shù)列的知識和不等式的證明,解題時要認真審題,仔細解答.