Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，4）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合（1），討論a的取值，判定f（x）在區(qū)間（0，4）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+

a

x

（a＞0），
∴f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
令f′（x）=0，解得x=±

a

；
∴當(dāng)x＜-

a

，或x＞

a

時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)-

a

＜x＜

a

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
∴f（x）的減區(qū)間是（-∞，-

a

）和（

a

，+∞），增區(qū)間是（-

a

，

a

）；
（2）當(dāng)

a

≥4，即a≥16時，f′（x）在（0，4）上大于0，∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)

a

＜4，即0＜a＜16時，在x∈（0，

a

）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
在x∈（

a

，4）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
綜上，a≥16時，f（x）在（0，4）上是增函數(shù)；
0＜a＜16時，f（x）在（0，

a

）上是增函數(shù)，
在（

a

，4）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性問題，也考查了對字母系數(shù)的分類討論問題，是中檔題．