Question

已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，且，tan∠PF₂F₁=-2，則雙曲線的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：在△PF₁F₂中，根據(jù)正弦定理算出PF₁=2PF₂．根據(jù)tan∠PF₁F₂=，tan∠PF₂F₁=-2，結(jié)合三角形內(nèi)角和與兩角和的正切公式，得到tan∠F₁PF₂值，從而算出cos∠F₁PF₂值，根據(jù)余弦定理得到+-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=3．將兩式聯(lián)解即得PF₁、PF₂的長，從而得到雙曲線的2a值，最后用離心率的公式可求出雙曲線的離心率．
解答：解：∵△PF₁F₂中，sin∠PF₁F₂═，sin∠PF₁F₂═，
∴由正弦定理得，…①
又∵，tan∠PF₂F₁=-2，
∴tan∠F₁PF₂=-tan（∠PF₂F₁+∠PF₁F₂）=-=，可得cos∠F₁PF₂=，
△PF₁F₂中用余弦定理，得+-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂==3，…②
①②聯(lián)解，得，可得，
∴雙曲線的，結(jié)合，得離心率
故答案為：
點(diǎn)評：本題以求雙曲線的離心率為載體，考查正余弦定理解三角形、兩角和的正切公式和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．