Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx（x＞0）
（1）a=-2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）a=-8時(shí)，求函數(shù)在[1，e]上的最小值及最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，（x＞0）分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)a=-8時(shí)，f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

，（x∈[1，e]）分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出極值與最值．

解答： 解：f′(x)=2x+

a

x

(x＞0)．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，∞）；遞減區(qū)間為（0，1]．
（2）當(dāng)a=-8時(shí)，f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

，
當(dāng)2＜x≤e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（2）=4-8ln2．
∵f（1）=1，f（e）=e²-8＜0，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．