Question

已知P為拋物線y=x²上的動點，定點A（a，0）關于P點的對稱點是Q，
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡與拋物線y=x²交于B、C兩點，當AB⊥AC時，求a的值．

Answer 1

分析：（1）設出P，Q兩點的坐標，根據定點A（a，0）關于P點的對稱點是Q，寫出中點的坐標公式，用a，x表示x₀，y₀，根據這是曲線上的一點，代入曲線的方程，得到要求的點的軌跡．
（2）兩個曲線相交的問題，需要把兩個曲線的方程聯(lián)立，得到關于x的方程，根據有兩個交點，得到方程有兩個實根，根據判別式和根與系數的關系，再根據垂直的關系得到結果．

解答：解：（1）設Q（x，y）、P（x₀，y₀）

∵  A、Q關于P點對稱

，
∴

x0= x+a 2 y0= y 2

，
∴

y

2

=(

x+a

2

)2，即y=

1

2

(x+a)2
（2）由

y=x2 y= 1 2 (x+a)2

消去y得x²-2ax-a²=0
又因為兩曲線相交于B、C兩點，
∴△=4a²-4（-a²）=8a²＞0，∴a≠0
設B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）

則x1+x2=2a，x1x2=-a2 ∵ AB⊥AC∴kAB•kAC=-1，即 y1 x1-a • y2 x21-a =-1 ∴y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0 ∵y1y2= x 2 1 • x 2 2 =(-a2)2=0∴a4-a2-2a2+a2=0 解得a=± 2 或a=0(舍去) ∴當AB⊥AC時，a的值為± 2 ．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合問題，本題解題的關鍵是先求出滿足條件的軌跡，在利用方程聯(lián)立，在聯(lián)立方程時注意判斷式與根與系數的關系的作用．