Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點(diǎn)．
（1）求二面角B-EC-A的正弦值；
（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得E到平面PAF的距離為

2 5

5

？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題意及正方形的特點(diǎn)，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，進(jìn)而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到線面垂直．過A作AH⊥BG于H，連接HE、AE，則∠AHE為二面角B-EC-A的平面角，求出AH，AE，即可求二面角B-EC-A的正弦值；
（2）設(shè)存在點(diǎn)F滿足題意，過D作DM⊥AF于M，連PF，則DM⊥面APF，求出AF，可得BF，即可得出結(jié)論．

解答： 解．（1）取PA中點(diǎn)G，連接EG、BG，
∵底面ABCD為正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD．
過A作AH⊥BG于H，連接HE、AE．  
∵BC⊥面PAB，∴AH⊥面GBCE
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點(diǎn)
∴CE=

6

，AE=

2

，AC=2

2

，
∴AE⊥EC，
∴HE⊥EC
∴∠AHE為二面角B-EC-A的平面角，
∵AG=1，AB=2，
∴BG=

5

，
∴由等面積，可得AH=

AB•AG

BG

=

2 5

5

，
∵AE=

2

∴在Rt△AHE中，sin∠AEH=

AH

AE

=

2 5 5

2

=

10

5

，
∴二面角B-EC-A的正弦值為

10

5

；
（2）設(shè)存在點(diǎn)F滿足題意，過D作DM⊥AF于M，連PF，則DM⊥面APF．
∵E為PD為中點(diǎn)，E到面PAF距離為

2 5

5

∴DM=

4 5

5

，由平面幾何知識(shí)知△DAM∽△AFB，求得AF=

5

∴BF=1，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴存在滿足題意的點(diǎn)F．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了線線垂直，線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了利用三垂線定理求解出二面角的平面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．